Giao điểm của elip với đường thẳng / Intersection of the ellipse with the line

• Phương trình ellipse (E)

\[\frac{{{x^2}}}{{{h^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{v^2}}} = 1\left( 1 \right)\]

• Phương trình đường thẳng (L)

\[ax + by = c\,\left( {\left[ \begin{array}{l} a\# 0\\ b\# 0 \end{array} \right.} \right)(2)\]

• Điểm M(x’, y’) thuộc ellipse (E) có tâm C(e, f) và quay quanh C  một góc β

\[\begin{array}{l} x' = x\cos \beta - y\sin \beta + e(3a)\\ y' = x\sin \beta + y\cos \beta + f(3b) \end{array}\]

+) Điểm M thuộc đường thẳng L

(2)  =>  a (x cosβ – y sinβ + e) + b (x sinβ + y cosβ + f) = c

    <=> (a cosβ + b sinβ) x + (b cosβ – a sinβ) y = c – ae – bf  (4)

    Đặt  k = a cosβ + b sinβ

           m = b cosβ – a sinβ

           n = c – ae – bf

    Ta được: kx + my = n                                                (5)

- Nếu k = 0 => (5) <=> my = n

      + Nếu m = 0

\[\left\{ \begin{array}{l} {\rm{a cos}}\beta + {\rm{b sin}}\beta = 0\\ {\rm{b cos}}\beta - {\rm{a sin}}\beta = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{a cos}}\beta = {\rm{ - b sin}}\beta \\ {\rm{b cos}}\beta = {\rm{a sin}}\beta \end{array} \right.\]

            - Nếu sinβ = 0

\[{\rm{cos}}\beta = \pm 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{a = 0}}\\ {\rm{b = 0}} \end{array} \right.\]

            - Nếu sinβ # 0

\[\left\{ \begin{array}{l} {\rm{a cot}}\beta = {\rm{ - b}}\\ {\rm{b cot}}\beta = {\rm{a}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{b(co}}{{\rm{t}}^2}\beta {\rm{ + 1)}} = 0\\ {\rm{b cot}}\beta = {\rm{a}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{a = 0}}\\ {\rm{b = 0}} \end{array} \right.\]

        => a = 0 và b = 0 Không thỏa mãn a#0 hoặc b#0 =>  m # 0

=> y = n / m thay vào phương trình (2) ta được:

\[{v^2}{x^2} + {h^2}{\left( {\frac{n}{m}} \right)^2} = {h^2}{v^2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{h}{v}\sqrt {{v^2} - {{\left( {\frac{n}{m}} \right)}^2}} \]

- Nếu k # 0

 (5) <=> x = (n - my) / k thay vào phương trình (2) ta được: 

\[\begin{array}{l} {v^2}{\left( {\frac{{n - my}}{k}} \right)^2} + {h^2}{y^2} = {h^2}{v^2}\\ \Leftrightarrow ({h^2}{k^2} + {v^2}{m^2}){y^2} - 2{v^2}mny + {v^2}{n^2} - {h^2}{v^2}{k^2} = 0 \end{array}\]

=> Giải phương trình => x, y

=> Thay x, y vào phương trình (3) ta được giao điểm của đường thẳng (L) với ellipse (E)