Giao điểm của elip với đường thẳng / Intersection of the ellipse with the line

• Phương trình ellipse (E)

\[\frac{{{x^2}}}{{{h^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{v^2}}} = 1\left( 1 \right)\]

• Phương trình đường thẳng (L)

\[ax + by = c\,\left( {\left[ \begin{array}{l} a\# 0\\ b\# 0 \end{array} \right.} \right)(2)\]

• Điểm M(x’, y’) thuộc ellipse (E) có tâm C(e, f) và quay quanh C  một góc β

\[\begin{array}{l} x' = x\cos \beta - y\sin \beta + e(3a)\\ y' = x\sin \beta + y\cos \beta + f(3b) \end{array}\]

+) Điểm M thuộc đường thẳng L

(2)  =>  a (x cosβ – y sinβ + e) + b (x sinβ + y cosβ + f) = c

    <=> (a cosβ + b sinβ) x + (b cosβ – a sinβ) y = c – ae – bf  (4)

    Đặt  k = a cosβ + b sinβ

           m = b cosβ – a sinβ

           n = c – ae – bf

    Ta được: kx + my = n                                                (5)

- Nếu k = 0 => (5) <=> my = n

      + Nếu m = 0

\[\left\{ \begin{array}{l} {\rm{a cos}}\beta + {\rm{b sin}}\beta = 0\\ {\rm{b cos}}\beta - {\rm{a sin}}\beta = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{a cos}}\beta = {\rm{ - b sin}}\beta \\ {\rm{b cos}}\beta = {\rm{a sin}}\beta \end{array} \right.\]

            - Nếu sinβ = 0

\[{\rm{cos}}\beta = \pm 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{a = 0}}\\ {\rm{b = 0}} \end{array} \right.\]

            - Nếu sinβ # 0

\[\left\{ \begin{array}{l} {\rm{a cot}}\beta = {\rm{ - b}}\\ {\rm{b cot}}\beta = {\rm{a}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{b(co}}{{\rm{t}}^2}\beta {\rm{ + 1)}} = 0\\ {\rm{b cot}}\beta = {\rm{a}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{a = 0}}\\ {\rm{b = 0}} \end{array} \right.\]

        => a = 0 và b = 0 Không thỏa mãn a#0 hoặc b#0 =>  m # 0

=> y = n / m thay vào phương trình (2) ta được:

\[{v^2}{x^2} + {h^2}{\left( {\frac{n}{m}} \right)^2} = {h^2}{v^2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{h}{v}\sqrt {{v^2} - {{\left( {\frac{n}{m}} \right)}^2}} \]

- Nếu k # 0

 (5) <=> x = (n - my) / k thay vào phương trình (2) ta được: 

\[\begin{array}{l} {v^2}{\left( {\frac{{n - my}}{k}} \right)^2} + {h^2}{y^2} = {h^2}{v^2}\\ \Leftrightarrow ({h^2}{k^2} + {v^2}{m^2}){y^2} - 2{v^2}mny + {v^2}{n^2} - {h^2}{v^2}{k^2} = 0 \end{array}\]

=> Giải phương trình => x, y

=> Thay x, y vào phương trình (3) ta được giao điểm của đường thẳng (L) với ellipse (E)

Xoay trục tọa độ / Rotating Axes

1. Quay điểm A(x, y) thuộc toạ độ XOY

 x = r cos β

 y = r sin β

   + Sau khi quay toạ độ XOY một góc α

xα = r cos (β - α)

yα = r sin (β - α)

 <=> xα = r cos β cos α + r sin β sin α = (r cos β )cos α + (r sin β )sin α

         yα = r sin β cos α - r cos β sin α = (r sin β )cos α - (r cos β )sin α 

 <=> xα  = x cos α + y sin α (1a)

         yα  = y cos α - x sin α (1b)

2. Biến đổi ngược lại

         x  = xα cos α - yα sin α         (2a)

         y  = yα cos α + xα sin α (2b)

Điểm cực trị của elip / Extreme point of ellipse

1. Điểm P’(x, y) thuộc ellipse tạo bởi góc α và ellipse quay quanh C(e, f) một góc β 

     x  = h cos α cos β – v sin α sin β + e (3a)

     y  = h cos α sin β + v sin α cos β + f (3b)

2. Tìm điểm cực trị của ellipse

a. Điểm cực trị theo x

            dx/dα =0

    <=> ( h cos α cos β – v sin α sin β + e)′ = 0

    <=> − h cos β sin α – v sin β cos α = 0

    <=> tan α = − v tan β / h

    <=> α = atan(−v tan β / h)                                 (4𝑎)

b. Điểm cực trị theo y

            dy/dα =0

    <=> ( h cos α sin β + v sin α cos β + f )′ = 0

    <=> − h sin β sin α + v cos β cos α = 0

    <=> tan α = v cot β / h

    <=> α = atan(v cot β / h)                                 (4b)

=> Thay α và π + α ở 4a vào 3a ta được 2 điểm cực trị theo x, thay α và π + α ở 4b vào 3b ta được 2 điểm cực trị theo y

Xoay elip trong mặt phẳng / Rotating ellipse

1. Phương trình ellipse

        \[\frac{{{x^2}}}{{{h^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{v^2}}} = 1\left( 1 \right)\]

2. Điểm P(x, y) thuộc ellipse tạo bởi góc α

x = h cos α (0 ≤ α ≤ 2π)         (2a)

y = v sin α                 (2b)

3. Điểm P’(x’, y’) là ảnh của P(x, y) khi quay ellipse (E) một góc β

     x’  = x cos β – y sin β                                  (3a)

     y’  = x sin β + y cos β                                  (3b)

4. Tịnh tiến ellipse (E) theo phương x, y một khoảng e, f

 => P’(x’, y’)

     x’  = x cos β – y sin β + e                            (4a)

     y’  = x sin β + y cos β + f                            (4b)

ó x’  = h cos α cos β – v sin α sin β + e          (5a)

     y’  = h cos α sin β + v sin α cos β + f          (5b)

Xoay điểm trong mặt phẳng / Rotating point

1. Quay điểm A(x, y) quanh gốc toạ độ một góc α

        x = r cos β

        y = r sin β

   + Sau khi quay điểm A một góc α ta được điểm A'(xα, yα)

xα = r cos (α+β)

yα = r sin (α+β)

<=>    xα = r cos β cos α - r sin β sin α = (r cos β )cos α - (r sin β )sin α

           yα = r sin β cos α + r cos β sin α = (r sin β )cos α + (r cos β )sin α 

<=>    xα  = x cos α – y sin α (1a)

           yα  = y cos α + x sin α (1b)

2. Quay điểm A(x, y) quanh điểm C(e, f) một góc α

         xα  = (x – e) cos α – (y – f) sin α (2a)

         yα  = (y – f) cos α + (x – e) sin α (2b)